Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Phú Thọ:
+ Cho đa thức P_n(x) = x^n + a_(n-1)x^(n-1) + … + a_1x + a_0 với n thuộc N, n >= 3, a_0, a_1, …, a_(n-1) là các số nguyên và P_n(x) có n nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng. a) Với n = 4, chứng minh rằng đa thức P’_4(x) có ba nghiệm thực phân biệt lập thành một cấp số cộng. b) Chứng minh rằng đa thức P_n(x) luôn phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.
+ Cho n thuộc N, n >= 1, số nguyên dương k được gọi là một số n-tốt nếu tồn tại a thuộc {1; 2; 3; …; 2026} để k là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn số hữu tỉ (10^k – 1) / (n * a) là số thập phân hữu hạn. a) Chứng minh rằng k = 6 là một số 18-tốt. b) Gọi S(n) là tập hợp các số n-tốt. Tìm giá trị lớn nhất |S(n)| (kí hiệu |S| là số phần tử của tập hợp S).
+ Cho tứ giác lồi ABCD có hai cạnh AD và BC không song song. Giả sử hai đường tròn có đường kính AB và CD cắt nhau tại các điểm E và F nằm bên trong tứ giác. Gọi omega_E là đường tròn đi qua chân các đường vuông góc từ E đến các đoạn thẳng AB, BC, CD. Gọi omega_F là đường tròn đi qua chân các đường vuông góc từ F đến các đoạn thẳng CD, DA, AB. a) Chứng minh omega_E đi qua chân đường vuông góc của E lên DA. b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng EF nằm trên đường thẳng đi qua hai giao điểm của omega_E và omega_F.

Trích dẫn Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Quảng Ngãi:
+ Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác OBC tiếp xúc với BC tại E. a) Giả sử tam giác ADE nhọn. Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABE, ADE, CDE. Chứng minh trực tâm của tam giác O1O2O3 nằm trên AD. b) Lấy điểm S khác O sao cho SA và SD cùng tiếp xúc với (I). Gọi K là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác SAD. Chứng minh OK đi qua trung điểm của AD.
+ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm cung nhỏ BC và cung BAC của đường tròn (O). a) Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AMB, AMC. Chứng minh bốn điểm A, N, I, J cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi (K) là đường tròn tiếp xúc với AM, AB và tiếp xúc trong với (O); (L) là đường tròn tiếp xúc với AM, AC và tiếp xúc trong với (O). Tiếp tuyến chung trong (khác AM) của (K) và (L) cắt MN tại Z. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AZN tiếp xúc với cả (K) và (L).
+ Có N người ngồi thành một vòng tròn (với N >= 3), mỗi người cầm k tấm thẻ (với k >= 2), trên mỗi tấm thẻ được ghi một số thuộc tập {1; 2; 3; …; N}. Mỗi số thuộc tập trên được ghi đúng trên k tấm thẻ, tức là có k thẻ được ghi số 1, k thẻ được ghi số 2, …, k thẻ được ghi số N. Cả N người cùng thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lượt chơi, mỗi người đều giữ lại những thẻ được ghi số lớn nhất trong những thẻ mà mình đang có (có thể nhiều hơn một thẻ) rồi chuyển cho người bên tay trái những thẻ còn lại. Trò chơi sẽ dừng lại khi xuất hiện ít nhất một người giữ trong tay k thẻ có ghi số giống nhau (có thể họ đang giữ nhiều hơn k thẻ). a) Với N = 25, k = 2, chứng minh rằng trò chơi luôn dừng lại sau hữu hạn lượt chơi mà không phụ thuộc vào việc ban đầu họ cầm thẻ thế nào. b) Tìm tất cả các giá trị của k và N để trò chơi dừng lại sau hữu hạn lượt chơi mà không phụ thuộc vào việc ban đầu họ cầm thẻ thế nào.

Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi Toán THPT năm 2026 – 2027 cụm 26 trường THPT – Hải Phòng:
+ Một ly nước hình hình trụ với phần chứa nước có chiều cao 9 cm. Lượng nước trong ly chiếm 2/3 thể tích ly nước. Bạn Hoa đặt một vật trang trí hình lập phương vào miệng ly nước thì thấy một đỉnh của viên kim cương chạm vào mặt nước, đồng thời mô hình ly nước và kim cương cùng lấy trục ly nước làm trục đối xứng. Nếu ban đầu bạn Hoa đổ nước đầy ly thì sau khi đặt khối lập phương như trên, lượng nước tràn ra là bao nhiêu cm3 (làm tròn đến hàng phần chục và bỏ qua độ dày của ly)?
+ Có 15 quả bóng được đánh số từ 1 tới 15 được bỏ vào 3 chiếc hộp mất nhãn (giống nhau), mỗi hộp có 6 ngăn được đánh số từ 1 tới 6 như hình vẽ, mỗi ngăn chứa tối đa 1 quả bóng. Biết rằng sau khi các quả bóng này được bỏ ngẫu nhiên vào các ngăn của mỗi hộp thì còn 3 ngăn trống (ngăn nào cũng có thể trống); gọi N là số cách thực hiện sao cho có đúng một hộp mà các quả bóng được bỏ vào có số tăng dần theo thứ tự trên xuống, đồng thời hộp đó chứa đủ 6 quả bóng, tính giá trị N/20175064.
+ Ông Bé đang cho chiếc xe máy cày đi từ vị trí A đến vị trí C trên một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều rộng 100 m và chiều dài 200 m. Mảnh đất này có một phần là bãi cỏ được giới hạn bởi một parabol có bề rộng BC với đỉnh là tâm của hình chữ nhật ABCD, phần còn lại là ruộng nước. Chiếc máy cày của ông khi đi trên ruộng nước sẽ có vận tốc bằng 6 km/h, khi đi trên bãi cỏ sẽ có vận tốc 22 km/h. Hỏi thời gian ngắn nhất mà ông Bé hoàn thành đoạn đường đi từ A tới C là bao nhiêu phút? Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm của phút, chỉ làm tròn ở phép tính cuối cùng.