Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Đà Nẵng:
+ Xét phương trình: phi(phi(n) + k) = n – k với n, k nguyên dương. a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương k cố định, chỉ có hữu hạn số n là hợp số thỏa mãn phương trình. b) Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình có vô số nghiệm nguyên dương n. (Với m nguyên dương, ký hiệu phi(m) là số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m).
+ Cho tam giác ABC nhọn, không cân (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Dựng hai đường kính AA’, BB’ của đường tròn (O) và điểm D sao cho A’CB’D là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, E là giao điểm của BD và AC, F là giao điểm của CD và AB. Gọi H1, H2 lần lượt là trực tâm của hai tam giác BEC và BFC. a) Chứng minh hai tam giác ABC và MH1H2 có cùng trực tâm. b) Đường thẳng BC cắt hai đường thẳng A’D, H1H2 lần lượt tại K, T. Gọi S, G, I lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (MH2, KH1), (KH2, MH1) và (SG, H1H2). Gọi X là hình chiếu vuông góc của G lên ST. Chứng minh bốn điểm S, X, I và trung điểm của đoạn thẳng H1H2 cùng nằm trên một đường tròn.

Trích dẫn Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Đắk Lắk:
+ Cho tam giác ABC (AB < AC), một đường tròn (O) thay đổi luôn đi qua B, C và lần lượt cắt các đoạn thẳng AB, AC tại F, E (F khác A và B; E khác A và C). Gọi I là giao điểm của BE và CF, đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P. a) Gọi X, Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên AB và AC; đường thẳng PO cắt AB và AC lần lượt tại K, L. Chứng minh rằng X, Y, K, L cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi D là giao điểm của AI và BC. Đường thẳng qua D song song với EF cắt AB, AC lần lượt tại Q và R. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
+ Một số nguyên dương n ≥ 3 được gọi là số cân bằng nếu như tồn tại một tập hợp S gồm n số nguyên dương sao cho nếu ta bỏ đi bất kì một phần tử nào của S thì tất cả các phần tử còn lại có thể chia ra làm hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập bằng nhau (số các số trong các tập có thể khác nhau). a) Chứng minh rằng nếu n là số cân bằng thì n lẻ và n ≥ 7. b) Hãy tìm tất cả các số cân bằng.
+ Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c, p sao cho p và p + 2 đều là các số nguyên tố lẻ thỏa mãn: 2^a.p^b = (p + 2)^c − 1.

1. Cấu trúc các đề thi: Mỗi đề ôn tập được thiết kế chuẩn theo định dạng cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT mới gồm 4 phần:
+ Phần I (Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn): Gồm 12 câu hỏi trắc nghiệm khách quan với 4 lựa chọn (A, B, C, D).
+ Phần II (Trắc nghiệm đúng/sai): Gồm 2 câu hỏi lớn, mỗi câu gồm 4 ý khẳng định a), b), c), d) yêu cầu thí sinh xác định tính đúng/sai.
+ Phần III (Trắc nghiệm trả lời ngắn): Gồm 4 câu hỏi yêu cầu tính toán và điền đáp số trực tiếp (bài toán thực tế, tối ưu hóa, cực trị…).
+ Phần IV (Tự luận): Gồm 3 câu tự luận đòi hỏi trình bày các bước giải chi tiết.2. Trọng tâm kiến thức xuất hiện trong đề thi: Nội dung bám sát kiến thức nửa đầu học kỳ I môn Toán 12:
Giải tích (Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số):
+ Tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất/bậc nhất, bậc hai/bậc nhất.
+ Cực trị của hàm số và đồ thị hàm số (điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực trị).
+ Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) trên một đoạn hoặc khoảng xác định.
+ Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.
+ Nhận dạng bảng biến thiên, bảng xét dấu đạo hàm f′(x) và nhận diện đồ thị hàm số.
+ Toán thực tế & tối ưu hóa: Tìm chi phí nhỏ nhất (vận tải, vật liệu làm tường cách âm, thể tích vỏ hộp, giá bán tối ưu hóa doanh thu).
Hình học & Véc-tơ trong không gian:
+ Véc-tơ trong không gian: Các quy tắc cộng véc-tơ, quy tắc hình hộp, tích vô hướng, góc giữa hai véc-tơ trong hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình chóp.
+ Hệ tọa độ Oxyz trong không gian: Tọa độ điểm, tọa độ véc-tơ, biểu diễn véc-tơ qua các véc-tơ đơn vị i, j, k.
+ Bài toán thực tế gắn tọa độ không gian: Chuyển động của drone giao hàng, góc bay, tính toán lực cân bằng trên các dây treo/thanh chống.

Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Khánh Hòa:
+ Cho dãy số nguyên dương (u_n) không là dãy hằng và thỏa mãn (u_m – u_n) chia hết cho (m – n), với mọi số nguyên dương m, n phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các số hạng của dãy số (u_n) là vô hạn.
+ Cho tam giác ABC nhọn, không cân có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm R thay đổi trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho AR không song song với BC. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm S, T phân biệt sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác ARS và ART cùng tiếp xúc với BC. Các đường thẳng qua H vuông góc với AS và AT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC tại điểm thứ hai theo thứ tự là M và N. Chứng minh: a) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác RST di chuyển trên một đường thẳng cố định.
+ Một công ty tổ chức đánh giá năng lực chuyên môn cho 250 công nhân bằng cách giao 5 nhiệm vụ trong một dây chuyền có 5 nhiệm vụ chuyên môn khác nhau. Kết quả cho thấy mỗi nhiệm vụ đều được ít nhất 170 công nhân hoàn thành. Chứng minh rằng luôn tìm được hai công nhân sao cho xét chung cả hai người mọi nhiệm vụ trong số 5 nhiệm vụ trên đều có ít nhất một người hoàn thành.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Quảng Trị:
+ Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), với O là tâm. Các đường trung trực của các đoạn AB, AC cắt đường phân giác trong của góc BAC theo thứ tự tại M, N. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BM với CN. H là trực tâm của tam giác OMN và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác PMN. a) Chứng minh rằng MHNI là hình thoi. b) Tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại S. Chứng minh rằng S, A, I thẳng hàng.
+ Một trường hè toán học gồm 3n (với n ≥ 2, n thuộc N) học sinh tham gia, trong đó hai học sinh quen nhau bất kỳ có đúng n học sinh quen chung và hai học sinh không quen nhau bất kỳ có đúng 2n học sinh quen chung. Nếu ba học sinh đôi một quen nhau thì ta gọi là một nhóm “Bạn bè”. a) Xác định số lượng các nhóm “Bạn bè”. b) Chứng minh rằng: có thể chia 3n học sinh trường hè toán học trên thành ba tổ, mỗi tổ có n học sinh sao cho khi lấy ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh thì ba học sinh này tạo thành một nhóm “Bạn bè”.
+ Cho đa giác lồi 2026 đỉnh A1 A2 … A2026. Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác bởi một trong hai màu đỏ hoặc xanh, mỗi đỉnh chỉ được tô bởi một màu. a) Tính số cách tô màu sao cho không có 2 đỉnh nào kề nhau đều được tô màu xanh. b) Tính số cách tô màu sao cho với mọi k thuộc {1; 2; …; 2026}, trong k đỉnh A1, A2, …, Ak, số đỉnh được tô màu đỏ không ít hơn số đỉnh được tô màu xanh.