Cấu trúc Đề kiểm tra Toán 12 tháng 9 năm 2026 trường Nguyễn Khuyến & Lê Thánh Tông – TP HCM:
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (12 câu – 3,0 điểm).
Bao gồm các câu hỏi nhận biết và thông hiểu kiến thức đầu lớp 12 kết hợp lớp 11:
+ Hàm số và đồ thị: Đọc bảng biến thiên để xác định điểm cực tiểu (Câu 1); tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] của hàm bậc ba f(x) = x^3 – 3x (Câu 2) và hàm phân thức y = (2x – 1)/(x + 1) (Câu 4); nhận diện khoảng đồng biến/nghịch biến qua đồ thị (Câu 3); xác định tiệm cận đứng của hàm phân thức y = (3x – 2)/(x + 2) (Câu 5).
+ Mũ, Logarit và Đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số mũ y = 3^x (Câu 6); tính đạo hàm của hàm lượng giác tích y = x.cos(x) (Câu 8); tìm tập xác định của hàm logarit y = log_2(3^x – 9) (Câu 10).
+ Hình học không gian và Vectơ: Đẳng thức vectơ theo quy tắc hình hộp (Câu 7); đẳng thức vectơ trung điểm trong tứ diện (Câu 9); tính tích vô hướng của hai vectơ cạnh trong tứ diện đều (Câu 11); tính thể tích khối chóp có đáy hình vuông và mặt bên là tam giác đều vuông góc với đáy (Câu 12).
Phần II. Câu trắc nghiệm Đúng / Sai (4 câu – 4,0 điểm).
Mỗi câu gồm 4 mệnh đề đánh giá tính đúng hoặc sai:
+ Câu 1 (Khảo sát toàn diện hàm bậc ba): Xét hàm số y = x^3 – 3x về tập xác định, tính đơn điệu, khoảng cách giữa hai điểm cực trị, và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A(2; 2).
+ Câu 2 (Hàm số lượng giác chứa tham số): Khảo sát hàm số f(x) = a.sin(pi.x + pi/6) + 2 đi qua điểm A(1/3; 5) về đạo hàm, chu kỳ tuần hoàn, xác định hệ số a, và tính hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
+ Câu 3 (Tối ưu hóa hình học thực tế): Thiết kế mặt cắt mương dẫn nước hình chữ nhật ABCD có diện tích 1,2 m2 để tổng chiều dài thành và đáy mương (AB + BC + CD) ngắn nhất với độ rộng đáy x thỏa mãn 0 < x < 10 m.
+ Câu 4 (Tọa độ Oxyz mô phỏng bể chứa nước): Đặt bể nước hình hộp chữ nhật vào hệ trục tọa độ Oxyz để xác định tọa độ các đỉnh miệng bể, sức chứa tối đa (tính theo lít), cosin góc giữa hai vectơ, và tính độ hạ mực nước sau 12 phút xả với tốc độ 10 dm3/phút.
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (6 câu – 3,0 điểm).
Các bài toán vận dụng và vận dụng cao:
+ Câu 1 (Bài toán kinh tế tối ưu): Tìm khối lượng sầu riêng x (kg) cần chở mỗi chuyến trong tổng số 3600 kg để tổng chi phí gồm phí xe cố định (50 nghìn đồng/chuyến) và phí bảo quản lạnh (0,005x^2 nghìn đồng/chuyến) đạt mức nhỏ nhất.
+ Câu 2 (Ý nghĩa vật lý của đạo hàm): Cho phương trình chuyển động thẳng y = t^3 – 12t + 3 (mét), tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 8 giây.
+ Câu 3 (Góc trong không gian): Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng bên đối diện (ABB’A’) và (CDD’C’) của hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ khi biết đáy lớn 8a, đáy nhỏ 4a và cạnh bên 4a.
+ Câu 4 (Tốc độ biến thiên liên quan): Cho hình vuông ABCD cạnh 10 m, điểm Q di chuyển trên BC với vận tốc 1 m/s tạo thành hình vuông DMNP có N thuộc AQ. Tính tốc độ giảm diện tích của DMNP tại thời điểm t = 5 giây.
+ Câu 5 (Hình học phẳng và chuyển động va chạm): Hai viên bi xanh bán kính 2 cm tiếp xúc nhau cố định tại A và B trên sàn. Một viên bi vàng bán kính 3 cm xuất phát từ C (với khoảng cách AC = 26 cm, BC = 10.căn(5) cm) lăn thẳng đều với vận tốc 2 cm/s về phía hai viên bi xanh. Tính thời gian để viên bi vàng tiếp xúc cùng lúc với cả hai viên bi xanh.
+ Câu 6 (Tổ hợp và Xác suất nâng cao): Từ 21 bóng đèn (3 màu đỏ, xanh, vàng; mỗi màu đánh số từ 1 đến 7), chọn ngẫu nhiên 7 bóng gắn vào tâm và 6 đỉnh của một lục giác đều. Tính xác suất để hai vị trí kề nhau khác màu và ba bóng trên mỗi đường chéo qua tâm có số đôi một khác nhau, từ đó tìm giá trị biểu thức n – 22m^2.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Hải Phòng:
+ Cho tam giác ABC (AB < AC) cố định, nội tiếp đường tròn (O). Một điểm D di chuyển trên cạnh AB, khác A và B. Đường tròn (BCD) cắt cạnh AC tại điểm E khác C. Gọi P là giao điểm khác A của hai đường tròn (O) và (ADE). a) Chứng minh rằng đường thẳng PD luôn đi qua một điểm cố định. b) Giả sử đường thẳng PD, PE cắt đường tròn (BCD) lần lượt tại điểm Q, R khác D, E. Gọi M là trung điểm của đoạn QR. Chứng minh rằng điểm M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định. + Một câu lạc bộ có 99 thành viên, trong đó có một số cặp quen biết nhau (quan hệ quen biết có tính hai chiều). Giả sử số lượng người quen của mỗi thành viên trong câu lạc bộ đều từ 81 đến 90. a) Chứng minh rằng tồn tại 2 thành viên của câu lạc bộ có ít nhất 67 người quen chung. b) Chứng minh rằng tồn tại 10 thành viên của câu lạc bộ cùng quen chung một người và có số lượng người quen bằng nhau. + Với số nguyên dương n >= 2, một bảng ô vuông n x n được gọi là bảng “tốt” nếu trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên dương thỏa mãn: i) Các số nguyên dương đôi một phân biệt; ii) Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột, ta tính ước chung lớn nhất của n số nguyên dương trong hàng, cột đó thì sau tất cả ta thu được 2n kết quả khác nhau. a) Chứng minh rằng trong mỗi bảng n x n “tốt”, luôn có một ô vuông chứa số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2n^2. b) Một bảng ô vuông n x n được gọi là “tốt tối tiểu” nếu tất cả các số nguyên dương trong bảng đều nhỏ hơn hoặc bằng 2n^2. Chứng minh rằng không tồn tại bảng “tốt tối tiểu” với n là số lẻ. c) Xác định tất cả các giá trị n >= 2 để tồn tại bảng n x n “tốt tối tiểu”.

Cấu trúc Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Hà Nội:
1. PHẦN I – Trả lời ngắn (12,0 điểm):
* Gồm 15 câu hỏi (từ Câu 1 đến Câu 15).
* Thí sinh chỉ cần viết kết quả cuối cùng vào giấy thi, không cần trình bày lời giải chi tiết.
* Phạm vi kiến thức: Trải rộng trên nhiều chủ đề như:
+ Xác suất của biến cố (Câu 1).
+ Ứng dụng đạo hàm trong chuyển động (Câu 2, Câu 15).
+ Tập hợp, biểu đồ Venn (Câu 3).
+ Giới hạn của hàm số (Câu 4).
+ Hàm số lượng giác và thực tế (Câu 5).
+ Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm (Câu 6).
+ Hình học không gian: Góc nhị diện (Câu 7), Khoảng cách (Câu 13).
+ Phương trình logarit (Câu 8).
+ Tổ hợp, đếm số hình (Câu 9).
+ Cấp số, dãy số (Câu 10).
+ Hệ thức lượng trong tam giác (Câu 11).
+ Đồ thị hàm số logarit (Câu 12).
+ Đạo hàm của hàm hợp (Câu 14).
2. PHẦN II – Tự luận (8,0 điểm):
* Gồm 5 câu hỏi (từ Câu 16 đến Câu 20).
* Yêu cầu thí sinh trình bày chi tiết lời giải vào giấy thi.
* Phạm vi kiến thức:
+ Câu 16 (1,5 điểm): Tính thể tích khối chóp.
+ Câu 17 (1,5 điểm): Bài toán xác suất liên quan đến tính chia hết.
+ Câu 18 (1,5 điểm): Hình học phẳng (tính tổng chu vi các đường tròn tiếp xúc nhau trong tam giác vuông).
+ Câu 19 (1,5 điểm): Bài toán tối ưu hóa trong thực tế (tìm khoảng cách ngắn nhất giữa một điểm trên parabol và một điểm trên đường tròn).
+ Câu 20 (2,0 điểm): Bài toán phân loại cao về hàm số bậc 3, tiếp tuyến và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Vĩnh Long:
+ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): y2 = 4x. Gọi M là điểm di động trên (P), T’ là điểm trên (P) sao cho OT vuông góc OM (M và T đều không trùng với O). Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng MT luôn chạy trên một parabol cố định.
+ Cho bảng ô vuông kích thước 2 x 4 gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô màu cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?
+ Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P, Q. Đường thẳng qua P cắt (O1), (O2) lần lượt tại A và B (không trùng với Q). Trên đường tròn (O1) lấy điểm F thuộc cung PQ không chứa điểm A. Kẻ đường thẳng d qua F song song với AB, d cắt đường tròn (O2) tại C, E và cắt lại (O1) tại D (E, F nằm trong đoạn CD). Gọi M là giao điểm AD và BE, N là giao điểm BC và AF, K là điểm đối xứng của P qua CD. a) Chứng minh M, K, N thẳng hàng. b) Chứng minh PK là đường phân giác của góc MPN.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Thanh Hóa:
+ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) và đường thẳng AI tương ứng tại G, H (G khác A). a) Gọi (O1) là đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC và tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại T. Chứng minh rằng bốn điểm G, T, H, I cùng thuộc một đường tròn. b) Tiếp tuyến tại G của (O) cắt đường thẳng BC tại J, đường thẳng AJ cắt đường tròn (O) tại điểm K khác A. Gọi D là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DJK và đường tròn ngoại tiếp tam giác GHI tiếp xúc với nhau.
+ Một điểm lưới là một điểm (x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho x, y là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm B = (x’; y’) nằm về phía Đông Bắc của điểm A = (x; y) nếu x’ > x và y’ > y. Ba điểm lưới A, B, C được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu B nằm về phía Đông Bắc của A và C nằm về phía Đông Bắc của B. Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc. a) Chứng minh rằng trong mỗi tập Lam Sơn luôn tồn tại ba điểm X, Y, Z sao cho XY² ≥ XZ² + ZY² + 4. b) Hỏi có bao nhiêu tập Lam Sơn?
+ Tìm số nguyên dương N nhỏ nhất sao cho tồn tại 2026 số nguyên không âm liên tiếp mà tổng tất cả các chữ số của chúng bằng N.