Cấu trúc Đề giữa kì 1 Toán 12 năm 2026 – 2027 trường Lê Thánh Tông – TP HCM:
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm phân thức, phép toán vectơ trong không gian (hình hộp, tứ diện/hình chóp, lăng trụ), đường tiệm cận ngang và tiệm cận xiên, đọc đồ thị hàm số bậc ba, số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm (khoảng biến thiên), tọa độ điểm trong không gian Oxyz, giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu 1: Khảo sát và nhận dạng hàm số bậc ba qua bảng biến thiên (cực trị, tính đơn điệu, tọa độ điểm thuộc đồ thị, tính giá trị hàm số).
Câu 2: Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm đo tốc độ ô tô (tính số trung bình, độ lệch chuẩn, tứ phân vị thứ nhất và khoảng tứ phân vị).
Câu 3: Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu hóa kinh tế thực tế (hàm doanh thu theo số lượng hành khách, tìm giá trị lớn nhất).
Câu 4: Ứng dụng hệ tọa độ Oxyz vào bài toán mô hình cầu dây văng thực tế (xác định tọa độ điểm, góc giữa hai vectơ, tìm giao điểm của đường thẳng dây cáp với mặt nước, tính độ dài thanh treo đèn led nối vuông góc).
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1: Thống kê ghép nhóm từ bảng số liệu thô và tính độ lệch chuẩn.
Câu 2: Ứng dụng giới hạn/tiệm cận ngang để xác định chi phí sản xuất trung bình khi số lượng sản phẩm tiến ra vô cực.
Câu 3: Ứng dụng đạo hàm để tìm tốc độ bơm nước lớn nhất (bài toán vận tốc tức thời theo thời gian).
Câu 4: Bài toán tối ưu hình học: gấp tấm bìa thành hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích lớn nhất.
Câu 5: Bài toán tìm đường đi ngắn nhất của dây dẫn trên bề mặt tường căn phòng có vật cản (trải phẳng hình hộp chữ nhật).
Câu 6: Phương pháp tọa độ hóa khối chóp tứ giác đều kết hợp trụ chữ nhật để xác định tọa độ đỉnh chóp và tính tổng tọa độ.

Nội dung Đề minh họa GK1 Toán 11 năm 2026 – 2027 trường THPT Hướng Hóa – Quảng Trị:
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Nội dung 1: Góc lượng giác. Số đo của góc lượng giác. Đường tròn lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác, quan hệ giữa các giá trị lượng giác.
+ Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác: khái niệm góc lượng giác; số đo của góc lượng giác; hệ thức Chasles cho các góc lượng giác; đường tròn lượng giác.
+ Nhận biết được khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác.
+ Mô tả được bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau pi.
+ Sử dụng được máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó.
+ Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác.
Nội dung 2: Các phép biến đổi lượng giác (công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tích thành tổng; tổng thành tích).
+ Mô tả được các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; công thức góc nhân đôi; công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.
+ Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với các phép biến đổi lượng giác.
Nội dung 3: Hàm số lượng giác và đồ thị.
+ Nhận biết được các khái niệm về hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.
+ Nhận biết được các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.
+ Nhận biết được định nghĩa các hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x thông qua đường tròn lượng giác.
+ Mô tả được bảng giá trị của các hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x trên một chu kì.
+ Giải thích được: tập xác định; tập giá trị; tính chất chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x dựa vào đồ thị.
+ Vẽ được đồ thị các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x.
+ Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số lượng giác (ví dụ: một số bài toán có liên quan đến dao động điều hoà trong Vật lí,…).
Nội dung 4: Phương trình lượng giác cơ bản.
+ Nhận biết được công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: sin x = m; cos x = m; tan x = m; cot x = m bằng cách vận dụng đồ thị hàm số lượng giác tương ứng.
+ Tính được nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay.
+ Giải được phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản (ví dụ: giải phương trình lượng giác dạng sin 2x = sin 3x, sin x = cos 3x).
+ Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với phương trình lượng giác (ví dụ: một số bài toán liên quan đến dao động điều hòa trong Vật lí,…).
CHƯƠNG 2. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN.
Nội dung 1: Dãy số. Dãy số tăng, dãy số giảm.
+ Nhận biết được dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn.
+ Nhận biết được tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong những trường hợp đơn giản.
+ Thể hiện được cách cho dãy số bằng liệt kê các số hạng; bằng công thức tổng quát; bằng hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả.
Nội dung 2: Cấp số cộng. Số hạng tổng quát của cấp số cộng. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
+ Nhận biết được một dãy số là cấp số cộng.
+ Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
+ Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
+ Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số cộng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số,…).
Nội dung 3: Cấp số nhân. Số hạng tổng quát của cấp số nhân. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
+ Nhận biết được một dãy số là cấp số nhân.
+ Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân.
+ Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
+ Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số,…).
CHƯƠNG 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM.
Nội dung: Các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm.
+ Nhận biết được mối liên hệ giữa thống kê với những kiến thức của các môn học khác trong Chương trình lớp 11 và trong thực tiễn.
+ Hiểu được ý nghĩa và vai trò của các số đặc trưng nói trên của mẫu số liệu trong thực tiễn.
+ Tính được các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm: số trung bình cộng (hay số trung bình), trung vị (median), tứ phân vị (quartiles), mốt (mode).
+ Rút ra được kết luận nhờ ý nghĩa của các số đặc trưng nói trên của mẫu số liệu trong trường hợp đơn giản.

Nội dung Đề minh họa GK1 Toán 10 năm 2026 – 2027 trường THPT Hướng Hóa – Quảng Trị:
CHỦ ĐỀ: MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP.
Nội dung: Mệnh đề toán học. Mệnh đề phủ định. Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương. Điều kiện cần và đủ.
Nhận biết: Phát biểu được các mệnh đề toán học, bao gồm: mệnh đề phủ định; mệnh đề đảo; mệnh đề tương đương; mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃; điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.
Thông hiểu: Thiết lập được các mệnh đề toán học, bao gồm: mệnh đề phủ định; mệnh đề đảo; mệnh đề tương đương; mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃; điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. Xác định được tính đúng/sai của một mệnh đề toán học trong những trường hợp đơn giản.
Nội dung: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp.
Nhận biết: Nhận biết được các khái niệm cơ bản về tập hợp (tập con, hai tập hợp bằng nhau, tập rỗng) và biết sử dụng các kí hiệu ⊂, ⊃, ∅.
Thông hiểu: Thực hiện được phép toán trên các tập hợp (hợp, giao, hiệu của hai tập hợp, phần bù của một tập con) và biết dùng biểu đồ Ven để biểu diễn chúng trong những trường hợp cụ thể.
Vận dụng: Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với phép toán trên tập hợp (ví dụ: những bài toán liên quan đến đếm số phần tử của hợp các tập hợp,…).
CHỦ ĐỀ: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
Nội dung: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng.
Nhận biết: Nhận biết được bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Thông hiểu: Biểu diễn được miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
Vận dụng: Vận dụng được kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết một số bài toán thực tiễn (đơn giản, quen thuộc).
Vận dụng cao: Vận dụng được kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết một số bài toán thực tiễn (phức hợp, không quen thuộc).
Nội dung: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng.
Nhận biết: Nhận biết được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Thông hiểu: Biểu diễn được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
Vận dụng: Vận dụng được kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết một số bài toán thực tiễn (đơn giản, quen thuộc) (ví dụ: bài toán tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác,…).
Vận dụng cao: Vận dụng được kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết một số bài toán thực tiễn (phức hợp, không quen thuộc).
CHỦ ĐỀ: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.
Nội dung: Giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ.
Nhận biết: Nhận biết được giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°.
Thông hiểu: Tính được giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° bằng máy tính cầm tay. Giải thích được hệ thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc phụ nhau, bù nhau.
Nội dung: Hệ thức lượng trong tam giác. Định lí côsin. Định lí sin. Công thức tính diện tích tam giác. Giải tam giác.
Thông hiểu: Giải thích được các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác: định lí côsin, định lí sin, công thức tính diện tích tam giác. Mô tả được cách giải tam giác.
Vận dụng: Vận dụng được vào việc giải một số bài toán có nội dung thực tiễn (ví dụ: xác định khoảng cách giữa hai địa điểm khi gặp vật cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo trực tiếp,…).
Vận dụng cao: Vận dụng được vào việc giải một số bài toán có nội dung thực tiễn (ví dụ: xác định khoảng cách giữa hai địa điểm khi gặp vật cản, xác định chiều cao của vật khi không thể đo trực tiếp,…) (phức hợp, không quen thuộc).

Nội dung Đề minh họa GK1 Toán 12 năm 2026 – 2027 trường THPT Hướng Hóa – Quảng Trị:
CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.
Nội dung 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
+ Nhận biết được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó.
+ Nhận biết được tính đơn điệu, điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.
+ Thể hiện được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên của hàm số.
Nội dung 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
+ Nhận biết được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước.
+ Xác định được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm trong những trường hợp đơn giản.
Nội dung 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Nhận biết được hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
+ Tìm được đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Nội dung 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
+ Nhận biết được tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm số.
+ Mô tả được sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
+ Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba y = ax^3 + bx^2 + cx + d (a khác 0); hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = (ax + b)/(cx + d) (c khác 0, ad – bc khác 0); hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất y = (ax^2 + bx + c)/(mx + n) (a khác 0, m khác 0 và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).
Nội dung 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.
+ Vận dụng được đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (đơn giản).
+ Vận dụng được đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.

Cấu trúc Đề ôn tập GK1 Toán 10 năm 2026 – 2027 trường THPT Lê Thị Hồng Gấm – TP HCM:
Phần I: Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm – Gồm 12 câu).
Kiểm tra kiến thức cơ bản và nhận biết về các chủ đề:
+ Đại số: Mệnh đề, tập hợp (các phép toán giao, hợp, hiệu, bù), bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Hình học: Hệ thức lượng trong tam giác (định lý cô-sin, định lý sin, công thức tính diện tích tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp), các giá trị lượng giác của một góc từ 0∘ đến 180∘.
Phần II: Trắc nghiệm đúng/sai (4,0 điểm – Gồm 4 câu).
Kiểm tra mức độ hiểu và vận dụng thấp đến trung bình, tập trung vào các dạng bài toán thực tế và tính toán chi tiết:
+ Ý nghĩa tập hợp: Các bài toán thực hiện phép toán trên tập hợp số và khoảng, đoạn, nửa khoảng.
+ Hình học tam giác: Áp dụng hệ thức lượng để tính cạnh, góc, diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp hoặc các hệ thức liên quan trong tam giác qua các bộ số đo cụ thể.
+ Bài toán tối ưu (Quy hoạch tuyến tính): Bài toán lập kế hoạch sản xuất, tính lợi nhuận tối đa hoặc xác định miền nghiệm thỏa mãn điều kiện thời gian, nguồn lực của xưởng/cơ sở sản xuất.
+ Ứng dụng thực tế lượng giác: Bài toán đo đạc chiều cao của tháp, cột cờ, hải đăng, cây cổ thụ thông qua các góc nhìn (góc nâng, góc hạ) ngoài thực địa.
Phần III: Tự luận / Trả lời ngắn (3,0 điểm – Gồm 4 câu).
Kiểm tra mức độ vận dụng cao, giải quyết vấn đề thực tiễn:
+ Bài toán tập hợp và biểu đồ Ven: Thống kê số lượng học sinh/khách tham gia các hoạt động, câu lạc bộ, môn học (áp dụng công thức lực lượng của hợp hai tập hợp).
+ Hình học không gian/thực tế (Vectơ & Tam giác): Bài toán tính khoảng cách giữa hai vật thể (thuyền, máy bay, flycam) sau một khoảng thời gian di chuyển theo hai hướng tạo với nhau một góc cho trước (sử dụng định lý cô-sin).
+ Bài toán cực trị (Bài toán quy hoạch tuyến tính nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm mục tiêu (tiền lãi) với các ràng buộc về thời gian máy móc, nguyên vật liệu trong sản xuất công nghiệp/thủ công.
+ Tính diện tích hình thực tế: Bài toán tính diện tích các mảnh đất, ao nuôi cá có hình dạng tứ giác hoặc phức hợp bằng cách chia nhỏ thành các tam giác và áp dụng hệ thức lượng.

Cấu trúc Đề kiểm tra Toán 12 tháng 10 năm 2026 trường Nguyễn Khuyến & Lê Thánh Tông – TP HCM:
Phần I: Trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn.
Bao gồm các câu hỏi nhận biết và thông hiểu trải đều các chuyên đề: khảo sát và xét tính đơn điệu/cực trị/liên tục của hàm số (Câu 1, 6, 9), cấp số nhân (Câu 2), tọa độ trong không gian Oxyz (Câu 3, 8), hình học không gian — góc, thể tích và góc nhị diện (Câu 4, 7, 12), lôgarit (Câu 5), ứng dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu thực tế (Câu 10) và xác suất cổ điển (Câu 11).
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu 1: Khảo sát hàm số lôgarit, giải bất phương trình và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
Câu 2: Tổ hợp và xác suất (bài toán chọn bi từ hộp kết hợp điều kiện cấp số cộng).
Câu 3: Hình học giải tích trong không gian Oxyz gắn với bài toán thực tế về khoảng cách từ bộ định tuyến Wi-Fi, robot tự hành và cảm biến trong nhà máy thông minh.
Câu 4: Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, mức độ đồng đều) kết hợp tính xác suất.
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1: Ứng dụng hệ tọa độ Oxyz vào bài toán định vị vệ tinh GPS để tính tốc độ chuyển động của vật thể.
Câu 2: Tính thể tích khối lăng trụ xiên có đáy là tam giác đều khi biết góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Câu 3: Bài toán chuyển động của hai con kiến trên các cạnh/mặt của hình hộp chữ nhật (ứng dụng hình học không gian hoặc tọa độ hóa để tìm khoảng cách).
Câu 4: Bài toán quy hoạch tuyến tính (hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn) tìm chi phí mua nguyên liệu sản xuất giấy tối thiểu.
Câu 5: Bài toán cực trị hình học phẳng (tìm diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi tiếp tuyến với cung tròn trong hình vuông).
Câu 6: Bài toán tổ hợp – số học (đếm số cách chọn và điền 6 số từ tập 10 số nguyên vào các ô sao cho tổng mỗi hàng bằng nhau).

Cấu trúc Đề khảo sát HSG Toán 12 năm 2026 – 2027 cụm trường THPT TT1-QV1-LVT – Bắc Ninh:
PHẦN I: Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Kiến thức bao quát: giải tích (đơn điệu, cực trị, đồ thị, tiệm cận, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, mũ – logarit, giới hạn, dãy số), hình học không gian và vectơ, tích phân ứng dụng thực tế, xác suất – tổ hợp và chuyển động biến đổi.
PHẦN II: Trắc nghiệm Đúng / Sai.
Dạng bài tập mang tính tích hợp, yêu cầu giải quyết nhiều bước cho một bài toán lớn (tọa độ không gian, hình học không gian, hàm ẩn, ứng dụng đạo hàm, bài toán thực tế về hóa học/lực/xác suất).
PHẦN III: Trắc nghiệm trả lời ngắn.
Các câu hỏi thuộc mức độ vận dụng và vận dụng cao (cực trị hình học giải tích Oxyz, tích phân hàm ẩn, hình học tiệm cận, tổ hợp – xác suất rời rạc, hình không gian và bất phương trình mũ – logarit chứa tham số).

Cấu trúc Đề khảo sát Toán 12 lần 1 năm 2026 – 2027 trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm – Gia Lai:
PHẦN I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Các câu hỏi nhận biết và thông hiểu cơ bản về khảo sát hàm số, bảng biến thiên, đồ thị, cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, thống kê mẫu số liệu ghép nhóm, đạo hàm cơ bản, cấp số cộng, cấp số nhân, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và tọa độ vectơ.
PHẦN II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Các bài toán kết hợp nhiều mức độ tư duy thuộc các chuyên đề: tổ hợp – xác suất, bài toán thực tế về hình không gian (thể tích khối chóp, tối ưu hóa kích thước), hàm số bậc ba chứa tham số và bài toán đọc đồ thị đạo hàm bậc ba.
PHẦN III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Các bài toán vận dụng – vận dụng cao gồm: phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, bài toán tối ưu hình học phẳng, xác suất thực tế, đồ thị hàm số và điểm đối xứng qua tâm, điều kiện cực trị của hàm số, và bài toán tối ưu tuyến tính (quy hoạch tuyến tính về pha chế/kinh doanh).

Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi Toán THPT (chuyên) năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Huế:
+ Giả sử p, r là hai số nguyên tố phân biệt lớn hơn 3. Chứng tỏ rằng mọi ước nguyên tố lớn hơn 3 của hai số 2^p + 1 và 2^r + 1 đều khác nhau từng đôi một.
+ Cho tam giác ABC có góc A nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm trên tia đối của tia BC, đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng AD tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AC và BE. a) Chứng minh đường thẳng ID đi qua trung điểm CE. b) K là điểm trên đường thẳng CE sao cho AK = BK. Chứng minh OK là phân giác của góc IKD. c) Gọi M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sao cho DM = DC (M khác C), N là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE sao cho DN = DE (N khác E) và P là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. Chứng minh góc MDC = 2.góc MPI.
+ Có 49 quả bóng với 7 màu khác nhau, mỗi màu có đúng 7 quả bóng. Ta xếp ngẫu nhiên tất cả 49 quả bóng thành một hàng ngang. Trong hàng ngang đó, một quả bóng F được gọi là “tốt” nếu ở mỗi bên của F tổng số các quả bóng khác màu với F đều là số lẻ. a) Tìm một cách xếp có đúng 3 quả bóng “tốt”. b) Tìm số lượng quả bóng “tốt” nhỏ nhất có thể. c) Nếu bổ sung thêm điều kiện là mỗi quả bóng phải cùng màu với ít nhất một quả bóng kề nó, thì số lượng quả bóng “tốt” nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

Cấu trúc Đề giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2026 – 2027 trường THPT Phan Bội Châu – Hà Nội:
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm).
Nhận biết, thông hiểu và vận dụng cơ bản về khảo sát hàm số (đồ thị hàm số, tiệm cận, cực trị, tính đơn điệu, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, xác định dấu hệ số của hàm số bậc ba/hàm phân thức).
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm).
Bài toán tối ưu hóa ứng dụng thực tế (bài toán kinh tế/quảng cáo, bài toán kích thước khung cửa sổ, bài toán dung tích – mực nước hình học không gian) và bài toán khảo sát tính chất toàn diện của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất.
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm).
Vận dụng cao về hình học không gian kết hợp cực trị thể tích (khối cầu lồng ghép, khối chóp tứ giác đều), tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác, bài toán ứng dụng tiếp tuyến – đồ thị hàm bậc ba với dải đèn LED, bài toán tối ưu năng lượng cơ học chất lưu và bài toán khoảng cách tiệm cận trong quỹ đạo vệ tinh.