Cấu trúc Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Hà Nội:
1. PHẦN I – Trả lời ngắn (12,0 điểm):
* Gồm 15 câu hỏi (từ Câu 1 đến Câu 15).
* Thí sinh chỉ cần viết kết quả cuối cùng vào giấy thi, không cần trình bày lời giải chi tiết.
* Phạm vi kiến thức: Trải rộng trên nhiều chủ đề như:
+ Xác suất của biến cố (Câu 1).
+ Ứng dụng đạo hàm trong chuyển động (Câu 2, Câu 15).
+ Tập hợp, biểu đồ Venn (Câu 3).
+ Giới hạn của hàm số (Câu 4).
+ Hàm số lượng giác và thực tế (Câu 5).
+ Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm (Câu 6).
+ Hình học không gian: Góc nhị diện (Câu 7), Khoảng cách (Câu 13).
+ Phương trình logarit (Câu 8).
+ Tổ hợp, đếm số hình (Câu 9).
+ Cấp số, dãy số (Câu 10).
+ Hệ thức lượng trong tam giác (Câu 11).
+ Đồ thị hàm số logarit (Câu 12).
+ Đạo hàm của hàm hợp (Câu 14).
2. PHẦN II – Tự luận (8,0 điểm):
* Gồm 5 câu hỏi (từ Câu 16 đến Câu 20).
* Yêu cầu thí sinh trình bày chi tiết lời giải vào giấy thi.
* Phạm vi kiến thức:
+ Câu 16 (1,5 điểm): Tính thể tích khối chóp.
+ Câu 17 (1,5 điểm): Bài toán xác suất liên quan đến tính chia hết.
+ Câu 18 (1,5 điểm): Hình học phẳng (tính tổng chu vi các đường tròn tiếp xúc nhau trong tam giác vuông).
+ Câu 19 (1,5 điểm): Bài toán tối ưu hóa trong thực tế (tìm khoảng cách ngắn nhất giữa một điểm trên parabol và một điểm trên đường tròn).
+ Câu 20 (2,0 điểm): Bài toán phân loại cao về hàm số bậc 3, tiếp tuyến và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Vĩnh Long:
+ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): y2 = 4x. Gọi M là điểm di động trên (P), T’ là điểm trên (P) sao cho OT vuông góc OM (M và T đều không trùng với O). Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng MT luôn chạy trên một parabol cố định.
+ Cho bảng ô vuông kích thước 2 x 4 gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô màu cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?
+ Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P, Q. Đường thẳng qua P cắt (O1), (O2) lần lượt tại A và B (không trùng với Q). Trên đường tròn (O1) lấy điểm F thuộc cung PQ không chứa điểm A. Kẻ đường thẳng d qua F song song với AB, d cắt đường tròn (O2) tại C, E và cắt lại (O1) tại D (E, F nằm trong đoạn CD). Gọi M là giao điểm AD và BE, N là giao điểm BC và AF, K là điểm đối xứng của P qua CD. a) Chứng minh M, K, N thẳng hàng. b) Chứng minh PK là đường phân giác của góc MPN.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Thanh Hóa:
+ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) và đường thẳng AI tương ứng tại G, H (G khác A). a) Gọi (O1) là đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC và tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại T. Chứng minh rằng bốn điểm G, T, H, I cùng thuộc một đường tròn. b) Tiếp tuyến tại G của (O) cắt đường thẳng BC tại J, đường thẳng AJ cắt đường tròn (O) tại điểm K khác A. Gọi D là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DJK và đường tròn ngoại tiếp tam giác GHI tiếp xúc với nhau.
+ Một điểm lưới là một điểm (x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho x, y là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm B = (x’; y’) nằm về phía Đông Bắc của điểm A = (x; y) nếu x’ > x và y’ > y. Ba điểm lưới A, B, C được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu B nằm về phía Đông Bắc của A và C nằm về phía Đông Bắc của B. Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc. a) Chứng minh rằng trong mỗi tập Lam Sơn luôn tồn tại ba điểm X, Y, Z sao cho XY² ≥ XZ² + ZY² + 4. b) Hỏi có bao nhiêu tập Lam Sơn?
+ Tìm số nguyên dương N nhỏ nhất sao cho tồn tại 2026 số nguyên không âm liên tiếp mà tổng tất cả các chữ số của chúng bằng N.