Trích dẫn Đề KSCL HSG Toán 12 lần 1 năm 2026 – 2027 liên trường THPT cụm Tây Nghệ An:
+ Trong tiết học STEM, thầy giáo cho các nhóm học sinh thực hành tạo ra các khay giấy đựng khoai tây chiên. Mỗi khay giấy được làm bằng cách cắt bỏ 3 tứ giác được tô màu như hình vẽ bên dưới từ một tấm bìa sạch hình tam giác đều có cạnh 22 cm, sau đó gấp phần còn lại của tấm bìa lên theo các đường nét đứt để được một chiếc khay hình chóp cụt tam giác đều không nắp. Để đảm bảo các khay có thể xếp chồng lên nhau dễ dàng thì yêu cầu độ dài cạnh của miệng khay (đáy lớn) phải gấp đúng 2 lần độ dài cạnh của đáy khay (đáy nhỏ). Hãy tính thể tích của mỗi chiếc khay mà nhóm thực hành đã tạo ra (đơn vị: dm3, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
+ Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Theo kinh nghiệm và điều tra thị trường: – Lợi nhuận của sản phẩm A tỉ lệ thuận với số vốn đầu tư. – Lợi nhuận của sản phẩm B tỉ lệ thuận với căn bậc hai của số vốn đầu tư. Biết rằng khi đầu tư 9 vạn USD cho sản phẩm A và 9 vạn USD cho sản phẩm B thì lợi nhuận mà sản phẩm A và sản phẩm B thu được lần lượt là 3 vạn USD và 6 vạn USD. Doanh nghiệp dự định đầu tư tổng cộng 25 vạn USD để sản xuất đồng thời hai sản phẩm A và B. Hỏi lợi nhuận lớn nhất (đơn vị: vạn USD) có thể đạt được là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
+ Bạn Hoàng có 6 chiếc hộp phân biệt, 4 quả bóng đỏ và 7 quả bóng xanh, các quả bóng cùng màu không phân biệt được nhau. Bạn Hoàng phân bố ngẫu nhiên tất cả 11 quả bóng này vào 6 chiếc hộp (không nhất thiết cả 6 hộp đều có bóng). Tính xác suất để cách phân bố đó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: Hộp nào cũng có bóng, mỗi hộp có không quá 3 quả bóng đồng thời không có hộp nào chứa từ 2 quả bóng đỏ trở lên.

Trích dẫn Đề kiểm tra Toán 12 năm 2026 – 2027 trường Lê Thánh Tông – TP HCM:
+ Một cá nhân gây thiệt hại cho tài sản nhà nước với tổng số tiền là 450 (triệu đồng). Để được giảm nhẹ trách nhiệm hình sự, người này được yêu cầu phải hoàn thành việc bồi thường ít nhất 60% tổng số tiền gốc trong vòng 6 tháng đầu tiên. Phương thức bồi thường được thoả thuận như sau: Tháng thứ nhất người đó nộp m (triệu đồng); kể từ tháng thứ hai, mỗi tháng số tiền nộp bằng 90% số tiền đã nộp ở tháng liền trước đó. Số tiền m nhỏ nhất mà người này phải nộp trong tháng đầu tiên là bao nhiêu để được giảm nhẹ trách nhiệm hình sự? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
+ Cho một tấm bìa hình elip tâm O có độ dài trục lớn và trục bé lần lượt bằng 8 và 6. Một hình chữ nhật có các cạnh song song hoặc vuông góc với hai trục của elip như hình vẽ, người ta tiến hành cắt ra các tam giác cân từ tấm bìa có một cạnh chung với hình chữ nhật sao cho có thể gấp vặn thành một hình chóp tứ giác có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Thể tích lớn nhất của khối chóp tạo thành bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
+ Trong mặt phẳng Oxy, một con ếch đang đứng tại điểm O và bắt đầu nhảy. Ở mỗi bước, con ếch nhảy ngẫu nhiên theo một trong hai cách sau: Bước lên: Sang phải một đơn vị theo trục Ox và lên trên một đơn vị theo trục Oy. Bước xuống: Sang phải một đơn vị theo trục Ox và xuống dưới một đơn vị theo trục Oy. Xác suất để con ếch đến được điểm A(15;3) sau 15 lần nhảy và không nhảy xuống điểm có tung độ âm bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trích dẫn Đề đánh giá Toán 12 năm 2026 – 2027 trường THCS&THPT Nguyễn Khuyến – TP HCM:
+ Để chuẩn bị cho hội chợ “Ý tưởng xanh”, bạn Nam dự định làm một chiếc khay trồng rau mầm thủy canh dạng hình chóp cụt đều không có nắp. Từ một tấm vật liệu tái chế hình vuông có cạnh 8 dm, Nam cắt bỏ bốn phần giống nhau ở bốn góc, sau đó gấp tạo hình rồi hàn các mép lại để được chiếc khay như hình vẽ bên dưới. Biết đáy khay là hình vuông có cạnh bằng 3 dm. Hỏi chiều cao của chiếc khay trồng rau này bằng bao nhiêu đề-xi-mét?
+ Trong một dự án nghiên cứu công nghệ vật liệu mới, các kỹ sư thiết kế một tấm pin năng lượng mặt trời dạng hình vuông có cạnh 1 m. Để tối ưu hóa khả năng hấp thụ ánh sáng và tản nhiệt, mặt tấm pin được phủ các lớp vi mạch cảm biến dạng phân mảnh (fractal). Ban đầu, tấm pin hình vuông được chia thành 9 ô vuông nhỏ bằng nhau, ô vuông ở chính giữa được phủ một lớp vật liệu cảm biến sẫm màu (màu đen). Ở giai đoạn tiếp theo, mỗi ô vuông màu sáng còn lại tiếp tục được chia thành 9 ô vuông nhỏ hơn và ô chính giữa của nó lại được phủ vật liệu cảm biến sẫm màu. Quá trình chia nhỏ và phủ vi mạch sẫm màu này được thực hiện liên tiếp đúng 5 lần. Tính tổng diện tích mặt tấm pin đã được phủ vật liệu cảm biến sẫm màu sau 5 lần thực hiện theo đơn vị mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
+ Cho tập hợp X = {1; 2; 3; . . . ; 12}. Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt từ tập X. Trong 4 số được chọn, ta đặt 1 số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, 3 số còn lại được đặt vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (biết rằng ba vòng tròn nhỏ này không phân biệt vị trí). Gọi P là xác suất để các số được đặt thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Ba số ở ba vòng tròn nhỏ có thể sắp xếp thành một cấp số cộng tăng. Số ở vòng tròn lớn chính giữa bằng tổng của cả ba số ở ba vòng tròn nhỏ. Tính giá trị của biểu thức 33 990P.

Trích dẫn Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Đồng Nai:
+ Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc với các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF, đường thẳng MB cắt đường thẳng DE tại S và đường thẳng MC cắt đường thẳng DF tại R. a) Chứng minh ba điểm A, R, S thẳng hàng. b) Gọi d là đường thẳng đối xứng với đường thẳng AD qua đường phân giác trong góc BAC. Chứng minh các đường thẳng RE, SF và d đồng quy.
+ Cho số nguyên dương lẻ n ≥ 2 và một số nguyên tố lẻ p. Xét một bảng vuông n x n, tại mỗi ô vuông đơn vị ta điền một số nguyên thuộc tập {1; 2; …; p – 1}. Một bảng được gọi là “TPĐN” nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) Tích của 4 số trong bất kỳ ô vuông 2 × 2 nào trên bảng đều đồng dư với 1 mô-đun p. ii) Tích của tất cả n² số trên bảng đồng dư với –1 mô-đun p. a) Hãy hoàn thành bảng “TPĐN” với n = 3 và p = 5 sau đây. b) Tính số lượng bảng “TPĐN” theo n và p (hai bảng được gọi là khác nhau nếu tồn tại ô vuông đơn vị ở hàng i và cột j trong hai bảng chứa hai số khác nhau).