Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Quảng Trị:
+ Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), với O là tâm. Các đường trung trực của các đoạn AB, AC cắt đường phân giác trong của góc BAC theo thứ tự tại M, N. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BM với CN. H là trực tâm của tam giác OMN và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác PMN. a) Chứng minh rằng MHNI là hình thoi. b) Tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại S. Chứng minh rằng S, A, I thẳng hàng.
+ Một trường hè toán học gồm 3n (với n ≥ 2, n thuộc N) học sinh tham gia, trong đó hai học sinh quen nhau bất kỳ có đúng n học sinh quen chung và hai học sinh không quen nhau bất kỳ có đúng 2n học sinh quen chung. Nếu ba học sinh đôi một quen nhau thì ta gọi là một nhóm “Bạn bè”. a) Xác định số lượng các nhóm “Bạn bè”. b) Chứng minh rằng: có thể chia 3n học sinh trường hè toán học trên thành ba tổ, mỗi tổ có n học sinh sao cho khi lấy ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh thì ba học sinh này tạo thành một nhóm “Bạn bè”.
+ Cho đa giác lồi 2026 đỉnh A1 A2 … A2026. Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác bởi một trong hai màu đỏ hoặc xanh, mỗi đỉnh chỉ được tô bởi một màu. a) Tính số cách tô màu sao cho không có 2 đỉnh nào kề nhau đều được tô màu xanh. b) Tính số cách tô màu sao cho với mọi k thuộc {1; 2; …; 2026}, trong k đỉnh A1, A2, …, Ak, số đỉnh được tô màu đỏ không ít hơn số đỉnh được tô màu xanh.