Trích dẫn Đề chọn ĐT thi HSG QG Toán THPT năm 2026 – 2027 trường chuyên ĐH Vinh – Nghệ An:
+ Có 30 học sinh tham dự một khóa học gồm 100 tiết. Kết thúc khóa học, những học sinh đi học ít hơn 56 tiết sẽ không được dự thi cuối khóa. Biết rằng trong mỗi tiết học đều có nhiều hơn nửa số học sinh vắng mặt. a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa. b) Tìm số nguyên N lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất N học sinh không được dự thi cuối khóa.
+ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của AB, đường kính CD của (O) cắt AB tại E. Tiếp tuyến tại A, B của (O) cắt nhau ở T, CT cắt (O) tại điểm thứ hai là S. Gọi I là tâm của đường tròn (CMЕ). a) Chứng minh rằng các đường thẳng CD, TI, SM đồng quy. b) Đường tròn (CME) cắt (O) tại điểm thứ hai là K, MK cắt CE tại F. Chứng minh rằng ba đường tròn (EFM), (DFS), (ABF) cùng đi qua một điểm khác F.
+ Bé An có một bộ cờ gồm 32 quân cờ. An chơi trò chơi đặt lần lượt các quân cờ lên một bàn cờ kích thước n x n. Trên bàn cờ, một ô gọi là hợp lệ nếu ô đó chưa có quân cờ nào đồng thời tổng số quân cờ đang có trên 2n – 2 ô cùng hàng hoặc cùng cột với ô đó là một số chẵn. Mỗi bước An đặt một quân cờ vào một ô hợp lệ. a) Xét n = 8 và bàn cờ được tô trắng đen như bàn cờ vua tiêu chuẩn. Chứng minh rằng An có thể đặt hết 32 quân cờ vào 32 ô trắng của bàn cờ. b) Với n = 8, chứng minh rằng nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì An luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ. c) Với n = 7, hỏi nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì có còn đảm bảo luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ hay không? Vì sao?